Способ повышения эффективности вычислительных методов моделирования поведения корродирующих конструкций

Abstract

RU: Цель. Предлагается алгоритм решения систем дифференциальных уравнений, моделирующих процесс изменения во времени напряжённо-деформированного состояния статически неопределимых шарнирно-стержневых конструкций вследствие воздействия агрессивных сред (процесс коррозионного деформирования). Предлагаемый алгоритм позволяет минимизировать вычислительные затраты при обеспечении необходимой точности получаемого решения. Методика. Алгоритм основан на декомпозиции системы - преобразовании исходных уравнений путём введения в них функций, описывающих влияние остальных уравнений, и последующем решении одного из этих уравнений. Первый этап предполагает численное решение с минимальным количеством узловых точек системы дифференциальных уравнений, описывающих коррозионный процесс, для определения номера элемента, определяющего долговечность конструкции, и построения для него аппроксимирующей функции изменения внутреннего усилия во времени. На втором этапе происходит преобразование дифференциального уравнения, описывающего коррозионный процесс в элементе с наименьшей долговечностью, путём ввода в его правую часть полученной аппроксимирующей функции и его численное решение с необходимой точностью. Результаты. Результаты численных экспериментов подтверждают эффективность и точность предлагаемого алгоритма. Показано, что предложенный алгоритм позволяет на порядок снизить вычислительные затраты при определении долговечности конструкций по сравнению с ранее использовавшимися алгоритмами при одной и той же точности. Сделан вывод о том, что показатель эффективности алгоритма не зависит от формы и размеров сечений стержневых элементов. Научная новизна. Впервые предложена и обоснована возможность построения функций, аппроксимирующих изменение с течением времени внутренних усилий в стержневых элементах, и решения вместо системы дифференциальных уравнений единственного уравнения. Практическая значимость. Наиболее перспективным использование данного алгоритма представляется при решении задач оптимального проектирования конструкций при ограничениях по долговечности. В этом случае задача определения долговечности решается на каждой итерации поиска оптимального проекта, что приводит к большим вычислительным затратам. Применение декомпозиционного алгоритма позволит решить задачу с минимальными вычислительными затратами и высокой точностью.

UK: Мета. Запропоновано алгоритм розв’язання систем диференціальних рівнянь, що моделюють процес зміни у часі напружено-деформованого стану статично невизначених шарнірно-стержневих конструкцій внаслідок впливу агресивних середовищ (процес корозійного деформування). Запропонований алгоритм дозволяє мінімізувати обчислювальні витрати при забезпеченні необхідної точності отриманого розв’язку. Методика. Алгоритм заснований на декомпозиції системи – перетворенні вхідних рівнянь шляхом введення в них функцій, що описують вплив решти рівнянь, та наступному розв’язанні одного з цих рівнянь. Перший етап передбачає чисельне розв’язання з мінімальною кількістю вузлових точок системи диференціальних рівнянь, що описують корозійний процес, для встановлення номеру елементу, що визначає довговічність конструкції, і побудови для нього апроксимуючої функції зміни внутрішнього зусилля у часі. На другому етапі відбувається перетворення диференціального рівняння, що описує корозійний процес в елементі з найменшою довговічністю, шляхом введення в його праву частину отриманої апроксимуючої функції та його чисельне розв’язання з необхідною точністю. Результати. Результати чисельних експериментів підтверджують ефективність і точність запропонованого алгоритму. Показано, що запропонований алгоритм дозволяє істотно знизити обчислювальні витрати при визначенні довговічності конструкцій у порівнянні з алгоритмами, що використовувалися раніше, при тій же самій точності. Зроблено висновок про те, що показник ефективності алгоритму не залежить від форми та розмірів перерізів стержневих елементів. Наукова новизна. Вперше запропоновано та обґрунтовано можливість побудови функцій, що апроксимують зміни у часі внутрішніх зусиль у стержневих елементах, та розв’язання замість системи диференціальних рівнянь одного рівняння. Практична значимість. Найбільш перспективним використання даного алгоритму видається при розв’язанні задач оптимального проектування конструкцій при обмеженнях по довговічності. В цьому разі задача визначення довговічності розв’язується на кожній ітерації пошуку оптимального проекту, що призводить до великих обчислювальних витрат. Використання декомпозиційного алгоритму дозволить розв’язати задачу з мінімальними обчислювальними витрати та високою точністю.

EN: Objective. The paper proposes an algorithm of solving differential equation systems modeling the process of change of strain-stress state of statically indeterminate hinged-rod structures over time due to influence of aggressive environments (the process of corrosive deformation). The proposed algorithms allows to minimize numerical cost and at the same time to acquire the solution with necessary accuracy. Methodology. The algorithm is based on decomposition of the system which means transforming initial equations by entering into them functions that describe influence of other equations, and then solving one of those equations. The first stages assumes numerical solution of system of differential equations with minimal number of nodes to determine the num ber of element which determines the durability of structure and to build the approximation function describing change of internal forces over time. On the second stage the differential equation describing corrosion process in element with the least durability is transformed by entering the acquired approximation function into its right side a nd solved numerically with necessary accuracy. Results. The results of numerical experiments prove efficiency and accuracy of the proposed algorithm. It is shown that the proposed algorithm allows to significantly lower computational cost determining durability of constructions in comparison to the algorithms used before acquiring the solution with the same accuracy. The authors came to conclusion that efficiency of the algorithms d oes not depend on forms and sizes of rod elements. Scientific novelty. For the first time the possibility of building functions approximating the change in the internal forces of rod elements over time, and solving a single equation instead of the system of different ial equations is proposed and substantiated. Practical significance. The most promising use of this method is in the solution of problems of optimum design of structures with durability constraints. In this case the problem of durability determination is solved on each iteration of optimal design search, and that leads to high computational cost. Application of decomposition method will allow to solve the problem with minimal computational cost and high accuracy.