Побудова чисельного методу гальоркіна з використанням алгоритму еволюційного пошуку найбільш привабливих рішень

Abstract

UK: Мета. При рішенні крайових задач методом Гальоркіна необхідно задавати базисні функції, завдання базисних функцій у аналітичній формі не завжди відповідає загальному рішенню. Привабливе завдання базисних функцій у графічному вигляді. Але при цьому виникає задача оцінки параметрів цих базисних функцій, які можуть входити в опис нелінійно. Метою даної роботи є розробка загального підходу вирішення крайових задач методом Гальоркіна, коли базисні функції задані не аналітично, а у геометричному вигляді.

Методика. Запропонований новий загальний підхід вирішення крайових задач методом Гальоркіна, коли базисні функції задані не в аналітичному вигляді, а у геометричній формі. Для пошуку параметрів базисних функцій заданих у геометричній формі застосовується алгоритм еволюційного пошуку рішень. Побудований чисельний алгоритм методу Гальоркіна з використанням еволюційного алгоритму випадкового пошуку найбільш привабливих рішень та графічного представлення базисних функцій.

Результати. Побудована загальна схема численного методу Гальоркіна з використанням алгоритму еволюційного пошуку найбільш привабливих рішень. У якості приклада наведено результати численного рішення тестової крайової задачі теплопровідності в тілі з двовимірним полем температури. Результати численного розрахунку при завданні базисних функцій у графічній формі співставленні з точним рішенням, отримано задовільний збіг результатів.

Наукова новизна. Для вирішення крайових задач методом Гальоркіна запропоновано використовувати не аналітичне, а графічне представлення базисних функцій. Невідомі параметри виразу рішення через базисні функції можуть входити нелінійно. Для пошуку невідомих параметрів виразу загального рішення запропоновано використовувати алгоритм еволюційного пошуку. Наведений еволюційний алгоритм з адаптацією параметрів пошуку, який збігається з шуканим рішенням з вірогідністю 1.

Практична значимість. Запропоновано при рішенні крайових задач методом Гальоркіна використовувати графічне представлення базисних функцій, що дає змогу досліджувати об’єкти коли невідомий аналітичний вид функцій. Використання методу Гальоркіна при рішенні задач, коли базисні функції задані не аналітично, а у геометричному вигляді дозволить розширити клас рішення крайових задач, в тому числі можливість формулювання складних відношень відбору для пошуку рішень.

RU: Цель. При решении краевых задач методом Галеркина необходимо задавать базовые функции, задание базисных функций в аналитической форме не всегда соответствует общему решению. Привлекательное задание базисных функций в графическом виде. Но при этом возникает задача оценки параметров этих базисных функций, которые могут входить в описание нелинейно. Целью данной работы является разработка общего подхода решения краевых задач методом Галеркина, когда базисные функции заданы не аналитически, а в геометрическом виде.

Методика. Предложен новый общий подход к решению краевых задач методом Галеркина, когда базисные функции заданы не в аналитическом виде, а в геометрической форме. Для поиска параметров базисных функций заданных в геометрической форме применяется алгоритм эволюционного поиска решений. Построен численный алгоритм метода Галеркина с использованием эволюционного алгоритма случайного поиска предпочтительных решений и графического представления базисных функций. Результаты. Построена общая схема численного метода Галеркина с использованием алгоритма эволюционного поиска предпочтительных решений. В качестве примера приведены результаты численного решения тестовой краевой задачи теплопроводности в теле с двумерным полем температуры. Результаты численного расчета при задании базисных функций в графической форме сопоставлены с точным решением, получено удовлетворительное совпадение результатов.

Научная новизна. Для решения краевых задач методом Галеркина предложено использовать не аналитическое, а графическое представление базисных функций. Неизвестные параметры выражения решения через базисные функции могут входить нелинейно. Для поиска неизвестных параметров выражения общего решения предложено использовать алгоритм эволюционного поиска. Приведенный эволюционный алгоритм с адаптацией параметров поиска, который совпадает с искомым решением с вероятностью 1.

Практическая значимость. Предложено при решении краевых задач методом Галеркина использовать графическое представление базисных функций, что позволяет исследовать объекты, когда неизвестный аналитический вид функций. Использование метода Галеркина при решении задач, когда базисные функции заданы не аналитически, а в геометрическом виде позволит расширить класс решение краевых задач, в том числе возможность формулировки сложных отношений отбора для поиска решений.

EN: Purpose. In solving boundary value problems by Galerkin method should set basic functions. Set of basic functions in analytical form does not always correspond to the total solution. Attractive set basis functions is graphically. But while the challenge is estimating the parameters of the basic functions that may include a description not linear. The aim of this work is to develop a general approach for solving boundary value tasks by Galerkin method, when the basis function is given not analytically but in geometric form.

Methodology. It was proposed а new general approach for solving boundary value problems by Galerkin method. In this method basis functions were given in geometric form but not in analytic form. To search the parameters of the basis functions which were defined in geometric form is used the evolutionary algorithm. Was constructed numerical algorithm Galerkin method with the help of evolutionary algorithm random search of the most attractive solutions and graphical representations of the basis functions. Findings. It was built general scheme of numerical Galerkin method with the use an evolutionary algorithm to find the most attractive solutions. As an example, were given the results of numerous solution to the boundary problem of heat conduction in the body of the two-dimensional temperature field. Were given the results of numerous calculation when setting the basic functions in graphic form a comparison with the exact solution. It was received a satisfactory coincidence of results.

Originality. It was suggested to use not analytical but graphical representation of the basis functions for solving boundary value problems by Galerkin method. The unknown parameters of the expression solution using basis functions may include non-linear. It was suggested to use an evolutionary algorithm to search for the unknown parameters of the expression of the general solution. There is provided an evolutionary algorithm with the adaptation of search terms that match the desired solution with probability 1.

Practical value. It was suggested that in solving boundary value problems by Galerkin method to use a graphical representation of basis functions, allowing objects to investigate when an unknown type of analytical functions. To use Galerkin method in solving problems when the basis functions given not analytically but in geometric form will expand class solutions boundary problems, including the possibility of formulating complex relationships selection to find solutions.